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    (精)2017-2018学年重庆市xx中学九年级上期中数学试题(有答案)

    2017-2018学年重庆市XX中学九年级(上)期中数学试卷

    一、选择题:(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个答案是正确的.

    1.(4分)抛物线y=2(x﹣3)2+4顶点坐标是()

    A.(3,4) B.(﹣3,4)C.(3,﹣4)D.(2,4)

    2.(4分)下面生活中的实例,不是旋转的是()

    A.传送带传送货物 B.螺旋桨的运动

    C.风车风轮的运动 D.自行车车轮的运动

    3.(4分)一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为()

    A.(x﹣3)2=15 B.(x﹣3)2=3 C.(x+3)2=15 D.(x+3)2=3

    4.(4分)如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,若⊙O的半径为5,AB=8,则CD的长是()

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    A.2 B.3 C.4 D.5

    5.(4分)若关于x的一元二次方程(k+1)x2+2(k+1)x+k﹣2=0有实数根,则k的取值范围在数轴上表示正确的是()

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    A.B.C.D.

    6.(4分)对于函数y=﹣2(x﹣m)2的图象,下列说法不正确的是()

    A.开口向下B.对称轴是x=m C.最大值为0 D.与y轴不相交

    7.(4分)已知抛物线y=ax2(a>0)过A(﹣2,y1)、B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是()

    A.y1>0>y2B.y2>0>y1C.y1>y2>0 D.y2>y1>0

    8.(4分)如图,小慧用如图的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上,下列给出的四个图形中,符合胶滚滚出的图案是()

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    A.B.C.D.

    9.(4分)某校进行体操队列训练,原有8行10列,后增加40人,使得队伍增加的行数、列数相同,你知道增加了多少行或多少列吗?设增加了x行或列,则列方程得()A.(8﹣x)(10﹣x)=8×10﹣40B.(8﹣x)(10﹣x)=8×10+40

    C.(8+x)(10+x)=8×10﹣40 D.(8+x)(10+x)=8×10+40

    10.(4分)在同一坐标系中一次函数y=ax﹣b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为()

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    A.B.C.D.

    11.(4分)若抛物线y=﹣x2+bx+c经过点(﹣2,3),则2c﹣4b﹣9的值是()

    A.5 B.﹣1 C.4 D.18

    12.(4分)如图,Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的()

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    A.B.C.D.

    二、填空题:(本大题6个小题,每小题4分,共24分)请将每个小题的答案直接填在答题卡(卷)中对应的标线上.

    13.(4分)一元二次方程x2=x的解为.

    14.(4分)如图,OA、OC是⊙O的半径,点B在⊙O上,连接AB、BC,若∠ABC=40°,则∠AOC=度.

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    15.(4分)等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8=0的解,则这个三角形的周长是.16.(4分)在等腰三角形ABC中,∠C=90°,BC=2cm,如果以AC的中点O为旋转中心,将△ABC旋转180°,点B落在B′处,则BB′的长度为.

    17.(4分)如图,等边三角形OAB的边长为2,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过O、P两点的抛物线和过A,P两点的抛物线的顶点分别在OB,AB上,则这两个二次函数的最大值之和等于.

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    18.(4分)二次函数y=x2的图象如图所示,自原点开始依次向上作内角为60度、120度的菱形(其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y轴上,相邻的菱形在y轴上有一个公共点),则第2009个菱形的周长=.

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    三、解答题:(本大题2个小题,每小题7分,共14分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,请将解答书写在答题卡(卷)中对应的位置上.

    19.(7分)解方程:

    (1)x2﹣9=0

    (2)x2+2x﹣1=0.

    20.(7分)已知:△ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2).(正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度)

    (1)画出△ABC向下平移4个单位,再向左平移1个单位得到的△A1B1C1,并直接写出C1点的坐标;

    (2)作出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2,并直接写出C2点的坐标.

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    四、解答题:(本大题4个小题,每小题10分,共40分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,请将解答书写在答题卡(卷)中对应的位置上.

    21.(10分)已知关于x的方程ax2+ax+a﹣2=0.

    (1)当该方程的一个根为1时,求a的值及该方程的另一根;

    (2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.

    22.(10分)某商店经销一种双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(单位:个)与销售单价x(单位:元)有如下关系:y=﹣x+60(30≤x≤60).

    设这种双肩包每天的销售利润为w元.

    (1)求w与x之间的函数解析式;

    (2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?

    (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?

    23.(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA为半径的⊙O交AB于点D,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.

    (1)求证:直线DE是⊙O的切线;

    (2)若AC=6,BC=8,OA=2,求线段AD和DE的长.

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    24.(10分)对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4,把y=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)称为这两个函数的“再生二次函数”,其中t是不为零的实数,其图象记作抛物线L.现有点A(2,0)和抛物线L上的点B(﹣1,n),请完成下列任务:

    【尝试】

    (1)当t=2时,抛物线y=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)的顶点坐标为;

    (2)判断点A是否在抛物线L上;

    (3)求n的值;

    【发现】

    通过(2)和(3)的演算可知,对于t取任何不为零的实数,抛物线L总过定点,坐标为.【应用】

    二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗?如果是,求出t的值;如果不是,说明理由.

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    五、解答题:(本大题2个小题,每小题12分,共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,请将解答书写在答题卡(卷)中对应的位置上.

    25.(12分)请阅读下列材料:

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    问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=,PC=1、求∠BPC度数的大小

    (精)2017-2018学年重庆市xx中学九年级上期中数学试题(有答案)

    和等边三角形ABC的边长.

    李明同学的思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2),连接PP′,可得△P′PB是等边三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),所以∠

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    AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°,进而求出等边△ABC的边长为,问题得到解决.

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    请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=,

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    BP=,PC=1.求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长.

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    26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,﹣3),动点P在抛物线上.

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    (1)b=,c=,点B的坐标为;(直接填写结果)

    (2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;

    (3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.

    2017-2018学年重庆市江津中学九年级(上)期中数学试卷

    参考答案与试题解析

    一、选择题:(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个答案是正确的.

    1.(4分)抛物线y=2(x﹣3)2+4顶点坐标是()

    A.(3,4) B.(﹣3,4)C.(3,﹣4)D.(2,4)

    【解答】解:y=2(x﹣3)2+4是抛物线的顶点式,

    根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(3,4).

    故选:A.

    2.(4分)下面生活中的实例,不是旋转的是()

    A.传送带传送货物 B.螺旋桨的运动

    C.风车风轮的运动 D.自行车车轮的运动

    【解答】解:传送带传送货物的过程中没有发生旋转.

    故选:A.

    3.(4分)一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为()

    A.(x﹣3)2=15 B.(x﹣3)2=3 C.(x+3)2=15 D.(x+3)2=3

    【解答】解:方程整理得:x2﹣6x=6,

    配方得:x2﹣6x+9=15,即(x﹣3)2=15,

    故选:A.

    4.(4分)如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,若⊙O的半径为5,AB=8,则CD的长是()

    (精)2017-2018学年重庆市xx中学九年级上期中数学试题(有答案)

    A.2 B.3 C.4 D.5

    【解答】解:∵OC⊥AB,

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    ∴AD=BD=AB=×8=4,

    在Rt△OAD中,OA=5,AD=4,

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    ∴OD==3,

    ∴CD=OC﹣OD=5﹣3=2.

    故选:A.

    5.(4分)若关于x的一元二次方程(k+1)x2+2(k+1)x+k﹣2=0有实数根,则k的取值范围在数轴上表示正确的是()

    (精)2017-2018学年重庆市xx中学九年级上期中数学试题(有答案)

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    A.B.C.D.

    【解答】解:∵关于x的一元二次方程(k+1)x2+2(k+1)x+k﹣2=0有实数根,

    (精)2017-2018学年重庆市xx中学九年级上期中数学试题(有答案)

    ∴,

    解得:k>﹣1.

    故选:A.

    6.(4分)对于函数y=﹣2(x﹣m)2的图象,下列说法不正确的是()

    A.开口向下B.对称轴是x=m C.最大值为0 D.与y轴不相交

    【解答】解:对于函数y=﹣2(x﹣m)2的图象,

    ∵a=﹣2<0,

    ∴开口向下,对称轴x=m,顶点坐标为(m,0),函数有最大值0,

    故A、B、C正确,

    故选:D.

    7.(4分)已知抛物线y=ax2(a>0)过A(﹣2,y1)、B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是()

    A.y1>0>y2B.y2>0>y1C.y1>y2>0 D.y2>y1>0

    【解答】解:∵抛物线y=ax2(a>0),

    ∴A(﹣2,y1)关于y轴对称点的坐标为(2,y1).

    又∵a>0,0<1<2,

    ∴y2<y1.

    故选:C.

    8.(4分)如图,小慧用如图的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上,下列给出的四个图形中,符合胶滚滚出的图案是()

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    A.B.C.D.

    【解答】解:根据旋转的性质和胶滚上的图案可知,横向状态转为正立状态,胶滚滚出的图案

    (精)2017-2018学年重庆市xx中学九年级上期中数学试题(有答案)

    是.

    故选:A.

    9.(4分)某校进行体操队列训练,原有8行10列,后增加40人,使得队伍增加的行数、列数相同,你知道增加了多少行或多少列吗?设增加了x行或列,则列方程得()A.(8﹣x)(10﹣x)=8×10﹣40B.(8﹣x)(10﹣x)=8×10+40

    C.(8+x)(10+x)=8×10﹣40 D.(8+x)(10+x)=8×10+40

    【解答】解:设增加了x行或列,根据题意得

    (8+x)(10+x)=8×10+40.

    故选:D.

    10.(4分)在同一坐标系中一次函数y=ax﹣b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为()

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    A.B.C.D.

    (精)2017-2018学年重庆市xx中学九年级上期中数学试题(有答案)

    【解答】解:A、由抛物线可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,错误;

    B、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,错误;

    (精)2017-2018学年重庆市xx中学九年级上期中数学试题(有答案)

    C、由抛物线可知,a<0,x=﹣>0,得b>0,由直线可知,a<0,b>0,正确;

    D、由抛物线可知,a<0,由直线可知,a>0,错误.

    故选:C.

    11.(4分)若抛物线y=﹣x2+bx+c经过点(﹣2,3),则2c﹣4b﹣9的值是()

    A.5 B.﹣1 C.4 D.18

    【解答】解:∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点(﹣2,3),

    ∴﹣(﹣2)2﹣2b+c=3,

    整理得,﹣2b+c=7,

    ∴2c﹣4b﹣9=2(c﹣2b)﹣9=2×7﹣9=5,

    故选:A.

    12.(4分)如图,Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的()

    (精)2017-2018学年重庆市xx中学九年级上期中数学试题(有答案)

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    A.B.C.D.

    【解答】解:∵Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,

    ∴∠AOB=∠A=45°,

    ∵CD⊥OB,

    ∴CD∥AB,

    ∴∠OCD=∠A,

    ∴∠AOD=∠OCD=45°,

    ∴OD=CD=t,

    (精)2017-2018学年重庆市xx中学九年级上期中数学试题(有答案)

    =×OD×CD

    ∴S

    △OCD

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    =t2(0≤t≤3),即S=t2(0≤t≤3).

    故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0,3]、开口向上的二次函数图象;

    故选:D.

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    二、填空题:(本大题6个小题,每小题4分,共24分)请将每个小题的答案直接填在答题卡(卷)中对应的标线上.

    13.(4分)一元二次方程x2=x的解为x1=0,x2=1.

    【解答】解:x2=x,

    移项得:x2﹣x=0,

    ∴x(x﹣1)=0,

    x=0或x﹣1=0,

    ∴x1=0,x2=1.

    故答案为:x1=0,x2=1.

    14.(4分)如图,OA、OC是⊙O的半径,点B在⊙O上,连接AB、BC,若∠ABC=40°,则∠AOC=80度.

    (精)2017-2018学年重庆市xx中学九年级上期中数学试题(有答案)

    【解答】解:∵∠ABC与AOC是同弧所对的圆周角与圆心角,∠ABC=40°,

    ∴∠AOC=2∠ABC=80°.

    故答案为:80.

    15.(4分)等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8=0的解,则这个三角形的周长是10或6或12.【解答】解:∵x2﹣6x+8=0,

    ∴(x﹣2)(x﹣4)=0,

    解得:x=2或x=4,

    ∵等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根,

    ∴当2是等腰三角形的腰时,2+2=4,不能组成三角形,舍去;

    当4是等腰三角形的腰时,2+4>4,则这个三角形的周长为2+4+4=10.

    当边长为2的等边三角形,得出这个三角形的周长为2+2+2=6.

    当边长为4的等边三角形,得出这个三角形的周长为4+4+4=12.

    ∴这个三角形的周长为10或6或12.

    故答案为:10或6或12.

    16.(4分)在等腰三角形ABC中,∠C=90°,BC=2cm,如果以AC的中点O为旋转中心,将△

    (精)2017-2018学年重庆市xx中学九年级上期中数学试题(有答案)

    ABC旋转180°,点B落在B′处,则BB′的长度为2cm.

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    【解答】解:如图所示:在直角△OBC中,OC=AC=BC=1cm,

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    则OB==(cm),

    则BB′=2OB=2(cm).

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    故答案为:2cm.

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    17.(4分)如图,等边三角形OAB的边长为2,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过O、P两点的抛物线和过A,P两点的抛物线的顶点分别在OB,AB上,则这两个二次函数的

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    最大值之和等于.

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    【解答】解:如图,连接PM、PN,

    由二次函数的性质,OM=PM,PN=AN,

    ∵△OAB是等边三角形,

    ∴∠AOB=∠OAB=60°,

    ∴△POM和△ANP是等边三角形,

    ∵OA=2,

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    ∴点M,N的纵坐标之和为2×=,

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    即两个二次函数的最大值之和等于.

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    故答案为.

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    18.(4分)二次函数y=x2的图象如图所示,自原点开始依次向上作内角为60度、120度的菱形(其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y轴上,相邻的菱形在y轴上有一个公共点),则第2009个菱形的周长=8036.

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    【解答】解:设第一个菱形边长为b,

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    则第一个菱形在x轴正向与函数y=x2交点为()(因为其边长与x轴夹角为30°)

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    代入y=x2

    得b=1;

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    设第二个菱形边长为c,则其边长与函数交点为()代入函数表达式得c=2,

    同理得第三个菱形边长为3,第n个菱形边长为n,故第2009个菱形边长为2009

    ∴其周长为:2009×4=8036.

    故答案为:8036.

    三、解答题:(本大题2个小题,每小题7分,共14分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,请将解答书写在答题卡(卷)中对应的位置上.

    19.(7分)解方程:

    (1)x2﹣9=0

    (2)x2+2x﹣1=0.

    【解答】解:(1)x2﹣9=0

    x2=9

    ∴x=±3,

    ∴x1=3,x2=﹣3;

    (2)x2+2x﹣1=0

    x2+2x=1

    x2+2x+1=2

    (x+1)2=2

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    ∴x+1=±,

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    解得,x1=﹣1+,x2=﹣1﹣.

    20.(7分)已知:△ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2).(正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度)

    (1)画出△ABC向下平移4个单位,再向左平移1个单位得到的△A1B1C1,并直接写出C1点的坐标;

    (2)作出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2,并直接写出C2点的坐标.

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    【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;

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    由图可知,点C1点的坐标为(1,﹣2);

    (2)如图所示,△A2B2C2即为所求,其中C2(﹣1,1).

    四、解答题:(本大题4个小题,每小题10分,共40分)解答时每小题必须给出必要的演算

    过程或推理步骤,请将解答书写在答题卡(卷)中对应的位置上.

    21.(10分)已知关于x的方程ax2+ax+a﹣2=0.

    (1)当该方程的一个根为1时,求a的值及该方程的另一根;

    (2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.

    【解答】解:(1)设方程的另一个根为x,

    则由根与系数的关系得:x+1=﹣a,x?1=a﹣2,

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    解得:x=﹣,a=,

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    即a=,方程的另一个根为﹣;

    (2)∵△=a2﹣4(a﹣2)=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=(a﹣2)2+4>0,

    ∴不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.

    22.(10分)某商店经销一种双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(单位:个)与销售单价x(单位:元)有如下关系:y=﹣x+60(30≤x≤60).

    设这种双肩包每天的销售利润为w元.

    (1)求w与x之间的函数解析式;

    (2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?

    (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?

    【解答】解:(1)w=(x﹣30)?y=(﹣x+60)(x﹣30)=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x﹣1800,w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800;

    (2)根据题意得:w=﹣x2+90x﹣1800=﹣(x﹣45)2+225,

    ∵﹣1<0,

    当x=45时,w有最大值,最大值是225.

    (3)当w=200时,﹣x2+90x﹣1800=200,解得x1=40,x2=50,

    ∵50>48,x2=50不符合题意,舍,

    答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为40元.

    23.(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA为半径的⊙O交AB于点D,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.

    (1)求证:直线DE是⊙O的切线;

    (2)若AC=6,BC=8,OA=2,求线段AD和DE的长.

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    【解答】(1)证明:连接OD,

    ∵EF垂直平分BD,

    ∴EB=ED,

    ∴∠B=∠EDB,

    ∵OA=OD,

    ∴∠ODA=∠A,

    ∵∠C=90°,

    ∴∠A+∠B=90°,

    ∴∠EDB+∠ODA=90°,

    ∴∠ODE=90°,

    ∴OD⊥DE,

    ∴DE是⊙O的切线.

    (2)解:连接OE,作OH⊥AD于H.则AH=DH,

    ∵△AOH∽△ABC,

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    ∴=,

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    ∴=,

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    ∴AH=,AD=,设DE=BE=x,CE=8﹣x,

    ∵OE2=DE2+OD2=EC2+OC2,

    ∴42+(8﹣x)2=22+x2,

    解得x=4.75,

    ∴DE=4.75.

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    24.(10分)对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4,把y=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)称为这两个函数的“再生二次函数”,其中t是不为零的实数,其图象记作抛物线L.现有点A(2,0)和抛物线L上的点B(﹣1,n),请完成下列任务:

    【尝试】

    (1)当t=2时,抛物线y=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)的顶点坐标为(1,﹣2);(2)判断点A是否在抛物线L上;

    (3)求n的值;

    【发现】

    通过(2)和(3)的演算可知,对于t取任何不为零的实数,抛物线L总过定点,坐标为(2,0)、(﹣1,6)..

    【应用】

    二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗?如果是,求出t的值;如果不是,说明理由.

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    【解答】解:【尝试】

    (1)∵将t=2代入抛物线l中,得:y=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)=2x2﹣4x=2(x﹣1)2﹣2,

    ∴此时抛物线的顶点坐标为:(1,﹣2).

    (2)∵将x=2代入y=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4),得y=0,

    ∴点A(2,0)在抛物线l上.

    (3)将x=﹣1代入抛物线l的解析式中,得:

    n=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)=6.

    【发现】

    ∵将抛物线E的解析式展开,得:

    y=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)=t(x﹣2)(x+1)﹣2x+4

    ∴抛物线l必过定点(2,0)、(﹣1,6).

    【应用1】

    将x=2代入y=﹣3x2+5x+2,y=0,即点A在抛物线上.

    将x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2,计算得:y=﹣6≠6,

    即可得抛物线y=﹣3x2+5x+2不经过点B,

    二次函数y=﹣3x2+5x+2不是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”.

    五、解答题:(本大题2个小题,每小题12分,共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,请将解答书写在答题卡(卷)中对应的位置上.

    25.(12分)请阅读下列材料:

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    问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=,PC=1、求∠BPC度数的大小

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    和等边三角形ABC的边长.

    李明同学的思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2),连接PP′,可得△P′PB是等边三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),所以∠

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    AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°,进而求出等边△ABC的边长为,问题得到解决.

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    请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=,

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    BP=,PC=1.求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长.

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    【解答】解:(1)如图,

    将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得△BP′A,则△BPC≌△BP′A.

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    ∴AP′=PC=1,BP=BP′=;

    连接PP′,

    在Rt△BP′P中,

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    ∵BP=BP′=,∠PBP′=90°,

    ∴PP′=2,∠BP′P=45°;(2分)

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    在△AP′P中,AP′=1,PP′=2,AP=,

    (精)2017-2018学年重庆市xx中学九年级上期中数学试题(有答案)

    ∵,即AP′2+PP′2=AP2;

    ∴△AP′P是直角三角形,即∠AP′P=90°,

    ∴∠AP′B=135°,

    ∴∠BPC=∠AP′B=135°.(4分)

    (2)过点B作BE⊥AP′,交AP′的延长线于点E;则△BEP′是等腰直角三角形,

    ∴∠EP′B=45°,

    ∴EP′=BE=1,

    ∴AE=2;

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    ∴在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=;(7分)

    (精)2017-2018学年重庆市xx中学九年级上期中数学试题(有答案)

    ∴∠BPC=135°,正方形边长为.

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    26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,﹣3),动点P在抛物线上.

    (精)2017-2018学年重庆市xx中学九年级上期中数学试题(有答案)

    (1)b=﹣2,c=﹣3,点B的坐标为(﹣1,0);(直接填写结果)