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    安徽省百校论坛2011届高三数学第三次联合考试 文

    安徽省百校论坛2011届高三第三次联合考试数学试题(文科)

    考生注意:

    1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。

    2.请将各卷答案填在试卷后面的答题卷上。

    3.本试卷主要考试内容:集合与简易逻辑占10%,函数与导函数占20%,三角函数及解三角形点10%,平面向量占10%,数列占30%,不等式占20%。

    第Ⅰ卷(选择题,共50分)

    一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个项选项中,只有一项是符合题目要求的。)

    1.已知集合{1,1},{|124},x A B x A B =-=≤< 则等于

    ( ) A .{1,0,1}- B .{1} C .{—1,1} D .{0,1}

    2.已知命题p :对任意,cos 1x R x ∈≤有,则

    ( )

    A .00:,cos 1p x R x ?∈≥存在使

    B .:,cos 1p x R x ?∈≥对任意有

    C .00:,cos 1p x R x ?∈>存在使

    D .:,cos 1p x R x ?∈>对任意有

    3.已知函数2log ,0,1()[()]43,0,

    x x x f x f f x >?=?≤?则的值是 ( )

    A .9

    B .19

    C .—9

    D .19-

    4

    .已知3cos()||,tan 22

    安徽省百校论坛2011届高三数学第三次联合考试 文

    ππ???-=<且则等于 ( ) A

    .B

    C

    D

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    5.已知(1,2),(2,),//,a b m a b ==-若则|23|a b +等于

    ( ) A

    B

    .C

    .D

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    .6.已知0,0,a b >>A 为a ,b 的等差中项,正数G 为a ,b 的等比中项,则ab 与AG 的大小关系是

    ( ) A .ab AG = B .ab AG ≥ C .ab AG ≤ D .不能确定

    7.已知函数3()()44,()f x f x x x f x '=-的导数为且的图象过点(0,—5),当函数()f x 取

    得极大值—5时,x 的值应为

    ( )

    A .—1

    B .0

    C .1

    D .1± 8.设O 为坐标原点,点A (1,1),若点222210,(,)12,12,x y x y B x y x y ?+--+≥?≤≤??≤≤?

    满足则OA OB

    ? 取得最小值时,点B 的个数是 ( )

    A .1

    B .2

    C .3

    D .无数 9.设(01)a a <<是给定的常数,()f x 是R 上的奇函数,且在(0,)+∞上是增函数,若

    1()0,(log )0,2

    a f f t t =>则的取值范围是 ( ) A

    . B

    . C

    . D

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    10.已知正项等比数列{}n a 满足:7652,m a a a a =+若存在两项

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    、14n a a =,则14m n +的最小值为 ( )

    A .32

    B .53

    C .256

    D .不存在

    第Ⅱ卷(非选择题,共100分)

    二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卷中的横线上)

    11.不等式12x x

    -≥的解集为 。 12.已知()2sin(2)[0,]62f x x m x ππ=-

    -∈在上有两个不同的零点,则m 的取值范围为 。

    13.正项等比数列2244635

    412111{},81,n a a a a a a a a ++=+中则= 。 14.O 是平面α上一点,点A 、B 、C 是平面α上不共线的三点,平面α内的动点P 满足

    1(),,()2

    OP OA AB AC PA PB PC λλ=++=?+ 若时则的值为 。 15.在等差数列11011{},0,0n a a a a >?<中,若此数列的前10项和1036,S =前18项和

    1812S =,则数列{||}n a 的前18项和T 18的值是 。

    三、解答题:(本大题共6小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步

    骤)

    16.(本小题满分12分)

    设p :实数x 满足22430,0,x ax a a -+<<其中q :实数x 满足2280,x x +->且p q ??是的必要不充分条件,求a 的取值范围。

    17.(本小题满分12分)

    已知角A 、B 、C 是△ABC 的内角,a 、b 、c 分别是其对边长,向量

    2,2cos ),(cos ,1),.222

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    A A A m n m n ==-⊥ (1)求角A 的大小;

    (2)若2,cos a B b ==

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    求的长。

    18.(本小题满分13分)

    祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验

    区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务,某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设()f n 表示前n 年的纯收入。(()f n =前n 年的总收入—前n 年的总支出—投资额)

    (1)从第几年开始获取纯利润?

    (2)若干年后,该台商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以48万美

    元出售该厂;②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂,问哪种方案最合算?

    19.(本小题满分13分) 已知函数22()ln (0,)f x x a x x a x

    =++>为常数,对任意两个不相等的正数12,x x ,证明:当1212()()0,().22

    f x f x x x a f ++≤>时

    20.(本小题满分12分) 数列2*3{},()2

    n n n n n a n S S n N +=∈的前项和为且 (1)求{}n a 的通项公式;

    (2)若数列,,{}{},.2,,n n n n n n n a n c c c n T T n ??=???

    为正奇数满足且的前项和为求为正偶数

    21.(本小题满分13分)

    已知函数3211()(,),()32

    a f x x x bx a a

    b f x +'=-++∈R 其导函数的图象过原点。 (1)当1a =时,求函数()f x 的图象在3x =处的切线方程;

    (2)若存在0,()9x f x '<=-使得,求a 的最大值;

    (3)当0a >时,确定函数()f x 的零点个数。

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    [例1]求经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(m∈R)的直线l的斜率,并且求出l的倾斜角α及其取值范围.

    选题意图:考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.

    解:(1)当m=2时,x1=x2=2,∴直线l垂直于x轴,因此直线的斜率不存在,倾斜角α

    =2

    π (2)当m ≠2时,直线l 的斜率k =

    21-m ∵m >2时,k >0. ∴α=arctan 21-m ,α∈(0,2

    π), ∵当m <2时,k <0 ∴α=π+arctan

    21-m ,α∈(2π,π). 说明:利用斜率公式时,应注意斜率公式的应用范围.

    [例2]若三点A (-2,3),B (3,-2),C (2

    1,m )共线,求m 的值. 选题意图:考查利用斜率相等求点的坐标的方法.

    解:∵A 、B 、C 三点共线,

    ∴kAB =kAC ,.22

    132332+-=+--m 解得m =2

    1. 说明:若三点共线,则任意两点的斜率都相等,此题也可用距离公式来解.

    [例3]已知两点A (-1,-5),B (3,-2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半,求直线l 的斜率.

    选题意图:强化斜率公式.

    解:设直线l 的倾斜角α,则由题得直线AB 的倾斜角为2α.

    ∵tan2α=kAB =.4

    3)1(3)5(2=----- 4

    3tan 1tan 22=-∴αα 即3tan 2α+8tan α-3=0, 解得tan α=

    31或tan α=-3. ∵tan2α=4

    3>0,∴0°<2α<90°, 0°<α<45°,

    ∴tan α=3

    1. 因此,直线l 的斜率是

    31 说明:由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.

    命题否定的典型错误及制作

    在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容.从课本内容安排上看,显得较容易,但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解,在解决这部分内容涉及的问题时容易出错.下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述.

    一、典型错误剖析

    错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论

    在命题的否定中,有许多是把原命题中的结论加以否定.如命题:2是无理数,其否定是:2不是无理数.但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了.例1写出下列命题的否定:

    ⑴对于任意实数x,使x2=1;

    ⑵存在一个实数x,使x2=1.

    错解:它们的否定分别为

    ⑴对于任意实数x,使x2≠1;

    ⑵存在一个实数x,使x2≠1.

    剖析:对于⑴是全称命题,要否定它只要存在一个实数x,使x2≠1即可;对于⑵是存在命题,要否定它必须是对所有实数x,使x2≠1.

    正解:⑴存在一个实数x,使x2≠1;

    ⑵对于任意实数x,使x2≠1.

    错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词

    在命题的否定中,有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词,如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等.但对于联言命题及选言命题,还要把逻辑联结词“且”与“或”互换.

    例2写出下列命题的否定:

    ⑴线段AB与CD平行且相等;

    ⑵线段AB与CD平行或相等.

    错解:⑴线段AB与CD不平行且不相等;

    ⑵线段AB与CD不平行或不相等.

    剖析:对于⑴是联言命题,其结论的含义为:“平行且相等”,所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外,还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”;而⑵是选言命题,其

    结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况,故否定就为“不平行且不相等”.

    正解:⑴线段AB与CD不平行或不相等;

    ⑵线段AB与CD不平行且不相等.

    错误3——认为“都不是”是“都是”的否定

    例3写出下列命题的否定:

    ⑴a,b都是零;

    ⑵高一(一)班全体同学都是共青团员.

    错解:⑴a,b都不是零;

    ⑵高一(一)班全体同学都不是共青团员.

    剖析:要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系,其中“都是”的否定是“不都是”,“不都是”包含“都不是”;“至少有一个”的否定是“一个也没有”.正解:⑴a,b不都是零,即“a,b中至少有一个不是零”.

    ⑵高一(一)班全体同学不都是共青团员,或写成:高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员.

    错误4——认为“命题否定”就是“否命题”

    根据逻辑学知识,任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题);而否命题是就假言命题(若p则q)而言的.如果一个命题不是假言命题,就无所谓否命题,也就是说,我们就不研究它的否命题.我们应清醒地认识到:假言命题“若p则q”的否命题是“若非p 则非q”,而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”,而不是“若p则非q”.例4写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定.

    错解:不满足条件C的点不都在直线F上.

    剖析:对于原命题可表示为“若A,则B”,其否命题是“若┐A,则┐B”,而其否定形式是“若A,则┐B”,即不需要否定命题的题设部分.

    正解:满足条件C的点不都在直线F上.

    二、几类命题否定的制作

    1.简单的简单命题

    命题的形如“A是B”,其否定为“A不是B”.只要把原命题中的判断词改为与其相反意

    义的判断词即可.

    例5写出下列命题的否定:

    ⑴ 3+4>6;

    ⑵ 2是偶数.

    解:所给命题的否定分别是:

    ⑴ 3+4≤6;

    ⑵ 2不是偶数.

    2.含有全称量词和存在量词的简单命题

    全称量词相当于日常语言中“凡”,“所有”,“一切”,“任意一个”等,形如“所有A是B”,其否定为“存在某个A不是B”;存在量词相当于“存在一个”,“有一个”,“有些”,“至少有一个”,“至多有一个”等,形如“某一个A是B”,其否定是“对于所有的A都不是B”.全称命题的否定是存在命题,存在命题的否定是全称命题.

    例6写出下列命题的否定:

    ⑴不论m取什么实数,x2+x-m=0必有实根.

    ⑵存在一个实数x,使得x2+x+1≤0.

    ⑶至少有一个整数是自然数.

    ⑷至多有两个质数是奇数.

    解:⑴原命题相当于“对所有的实数m,x2+x-m=0必有实根”,其否定是“存在实数m,使x2+x-m=0没有实根”.

    ⑵原命题的否定是“对所有的实数x,x2+x+1>0”.

    ⑶原命题的否定是“没有一个整数是自然数”.

    ⑷原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”.

    3.复合命题“p且q”,“p或q”的否定

    “p且q”是联言命题,其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“;“p或q”是选言命题,其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“;

    例7写出下列命题的否定:

    ⑴他是数学家或物理学家.⑵他是数学家又是物理学家.

    21

    23

    x x

    +-

    ≥0.

    解:⑴ 原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”.

    ⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”,即“他不是数学家或他不是物理学家”.

    ⑶若认为┐p :2123x x +-<0,那就错了.┐p 是对p 的否定,包括2123

    x x +-<0或2123

    x x +-=0. 或∵p :x >1或x <-3,∴┐p :-3≤x ≤1.

    第1章 第3节知能训练·提升

    考点一:命题真假的判断

    安徽省百校论坛2011届高三数学第三次联合考试 文

    1.如果命题“非p 或非q ”是假命题,则下列结论中正确的为

    ( )

    ①命题“p 且q ”是真命题;

    ②命题“p 且q ”是假命题;

    ③命题“p 或q ”是真命题;

    ④命题“p 或q ”是假命题.

    A .①③

    B .②④

    C .②③

    D .①④

    解析:由“非p 或非q ”是假命题知,非p 和非q 都是假命题.即p 为真,q 为真.所以p 且q 为真,p 或q 也为真.①③正确.

    答案:A

    2.设命题p :若a >b ,则1a <1b ;命题q :1ab

    <0?ab <0.给出下列四个复合命题: ①p 或q ;②p 且q ;③綈p 且q ;④綈p 或綈q .其中真命题的个数为

    ( )

    A .0

    B .1

    C .2

    D .3

    解析:由题意知p 为假命题,q 为真命题,故p 或q 为真,p 且q 为假,綈p 且q 为真,綈p 或綈q 也为真,故真命题有3个.

    答案:D

    3.(2010·湖北质检)P :函数y =log a (x +1)在(0,+∞)内单调递减;Q :曲线y =x 2+

    (2a -3)x +1与x 轴交于不同的两点.如果P 与Q 有且只有一个正确,求a 的取值范围.

    解:当0<a <1时,函数y =log a (x +1)在(0,+∞)内单调递减;当a >1时,函数y =log a (x +1)在(0,+∞)内不单调递减.

    曲线y =x 2+(2a -3)x +1与x 轴交于不同两点等价于(2a -3)2-4>0,即a <12或a >52

    . 情形(1):P 正确,但Q 不正确,

    因此a ∈(0,1)∩[12,52],即a ∈[12

    ,1). 情形(2):P 不正确,但Q 正确,

    因此a ∈(1,+∞)∩[(-∞,12)∪(52

    ,+∞)],

    即a ∈(52

    ,+∞). 综上,a 的取值范围是[12,1)∪(52

    ,+∞). 考点二:反证法的应用

    4.用反证法证明命题“a ,b ∈N ,ab 可被5整除,那么a ,b 中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是

    ( )

    A .a ,b 都能被5整除

    B .a ,b 都不能被5整除

    C .a 不能被5整除

    D .a ,b 有一个不能被5整除

    答案:B

    5.已知函数f (x )对其定义域内的任意两个实数a 、b ,当a <b 时,都有f (a )<f (b ),求证:f (x )=0至多有一实根.

    证明:假设f (x )=0至少有两个不同的实根x 1,x 2,不妨设x 1<x 2,由方程的定义,f (x 1)=0,f (x 2)=0,则f (x 1)=f (x 2),①

    但是由已知,当x 1<x 2时,f (x 1)<f (x 2),②

    ①式与②式矛盾,因此假设不成立.故f (x )至多有一个实根.

    考点三:充要条件的判断及证明

    6.若不等式|x -m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12

    ,则实数m 的取值范围是 ( )

    A .[-43,12]

    B .[-12,43

    ] C .(-∞,-12] D .[43

    ,+∞) 解析:|x -m |<1?m -1<x <m +1.

    由题意m -1≤13且m +1≥12,得-12≤m ≤43

    . 答案:B

    7.(2010·山东名校联考)已知命题p :-1≤4x -3≤1,命题q :x 2-(2a +1)x +a (a +

    1)≤0,,若綈p 是綈q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是

    ( )

    A .[0,12]

    B .[12

    ,1] C .[13,12] D .(13

    ,1] 解析:由题知,命题p 为M =[12

    ,1],命题q 为N =[a ,a +1].∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴p 是q 的充分不必要条件,从而有M N ,于是可得????? a <12

    ,a +1>1.而当a =0或

    a =12时,同样满足M N 成立,故a 的取值范围是[0,12

    ].

    答案:A

    8.(探究题)(1)是否存在实数p ,使“4x +p <0”是“x 2-x -2>0”的充分条件?如果

    存在,求出p 的取值范围.(2)是否存在实数p ,使“4x +p <0”是“x 2-x -2>0”的必要条

    件?如果存在,求出p 的取值范围.

    解:(1)因为x 2-x -2>0的解为x >2或x <-1.所以当x >2或x <-1时,x 2-x -2>0.由4x +p <0得x <-p 4.设A ={x |x >2或x <-1},B ={x |x <-p 4}.由题意得B ?A .所以-p 4≤-1,所以p ≥4.故存在实数p ≥4,使“4x +p <0”是“x 2-x -2>0”的充分条件.

    (2)由(1)知,要使“4x +p <0”是“x 2-x -2>0”的必要条件,则需满足A ?B ,但这不

    可能,故不存在实数p ,使“4x +p <0”是“x 2-x -2>0”的必要条件.

    1.(2009·浙江)已知a 、b 是实数,则“a >0且b >0”是“a +b >0且ab >0”的

    安徽省百校论坛2011届高三数学第三次联合考试 文

    ( )

    A .充分不必要条件

    B .必要不充分条件

    C .充分必要条件

    D .既不充分也不必要条件

    解析:由a >0且b >0可得a +b >0,ab >0,

    由a +b >0有a 、b 至少一个为正,ab >0可得a 、b 同号,

    两者同时成立,则必有a >0,b >0,故选C.

    答案:C

    2.(2009·安徽)下列选项中,p 是q 的必要不充分条件的是

    ( )

    A .p :a +c >b +d ,q :a >b 且c >d

    B .p :a >1,b >1,q :f (x )=a x -b (a >0,且a ≠1)的图像不过第二象限

    C .p :x =1,q :x 2=x

    D .p :a >1,q :f (x )=log a x (a >0,且a ≠1)在(0,+∞)上为增函数

    解析:∵p :a +c >b +d ,q :a >b 且c <d ,

    ∴p q ,q ?p .

    对于选项B :p ?q ,q

    p ,p 是q 的充分不必要条件. 对于选项C :p ?q ,q p ,p 是q 的充分不必要条件.

    对于选项D :p ?q ,p 是q 的充要条件.故选A.

    答案:A

    3.(2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:

    (1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;

    (2)若α外一条直线l 与α内的一条直线平行,则l 和α平行;

    (3)设α和β相交于直线l ,若α内有一条直线垂直于l ,则α和β垂直;

    (4)直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直.

    上面命题中,真命题...

    的序号是________(写出所有真命题的序号). 解析:(1)由面面平行的判定定理可得,该命题正确;

    (2)由线面平行的判定定理可得,该命题正确.

    (3)如图(举反例),a ?α,α∩β=l ,a ⊥l ,使α与β不垂直.

    安徽省百校论坛2011届高三数学第三次联合考试 文

    (4)l ⊥α,垂直的充要条件是l 与α内的两条相交直线垂直.

    答案:(1)(2)

    1.对于函数:①f (x )=|x +2|,②f (x )=(x -2)2,③f (x )=cos(x -2),判断如下两个命

    安徽省百校论坛2011届高三数学第三次联合考试 文

    题的真假;命题甲:f (x +2)是偶函数;命题乙:f (x )在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数;能使命题甲、乙均为真命题的所有函数的序号是

    ( )

    A .①②

    B .②

    C .①③

    D .③

    解析:对于函数①,∵f (x +2)=|x +4|,∴命题甲是假命题;

    对于函数②,∵f (x +2)=x 2,

    ∴命题甲是真命题,且命题乙是真命题;

    对于函数③,∵f (x +2)=cos x ,

    ∴命题甲是真命题,但命题乙是假命题.

    答案:B

    2.已知集合A ={y |y =x 2-32x +1,x ∈[34

    ,2]},B ={x |x +m 2≥1};命题p :x ∈A ,命题q :x ∈B ,并且命题p 是命题q 的充分条件,求实数m 的取值范围.

    解:化简集合A ,由y =x 2-32

    x +1, 配方得y =(x -34)2+716

    . ∵x ∈[34,2],∴y min =716

    ,y max =2. ∴y ∈[716,2].∴A ={y |716

    ≤y ≤2}. 化简集合B ,由x +m 2≥1,∴x ≥1-m 2,

    B ={x |x ≥1-m 2}.

    ∵命题p 是命题q 的充分条件,∴A ?B .

    ∴1-m 2≤716,解之,得m ≥34或m ≤-34

    . ∴实数m 的取值范围是(-∞,-34]或[34

    ,+∞).