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    自动控制原理_第四章习题集配套答案

    第四章 根轨迹分析法习题

    4-2 单位回馈控制系统的开环传递函数1

    )(+=

    s K s G r

    ,试用解析法绘出r K 从零变化到无穷时的死循环根轨迹图,并判断-2, j1, (-3+j2)是否在根轨迹上。 解:1-s 01s 0r

    =?=+=时,K

    2-s 02s 1r

    =?=+=时,K

    3-s 03s 2r

    =?=+=时,K

    ……

    -2 在根轨迹上,(-3+j2),j1不在根轨迹上。

    4-3 回馈控制系统的开环传递函数如下,0≥r K ,试画出各系统的根轨迹图。 (2) )4)(1()

    5.1()(+++=s s s s K s G r (3) 2

    )1()(+=s s K s G r ,

    解:(2)

    1)开环零、极点:p 1=0,p 2=-1,p 3=-4,z=-1.0,n=3,m=1 2)实轴上根轨迹段:(0,-1),(-1.5,-4) 3)根轨迹的渐近线:

    ?

    ±=±=-+±=

    -=----=

    902

    )12(,

    75.12

    )5.1(410)2( π

    π?σm n k a

    a

    夹角交点条渐近线

    4)分离点和会合点

    6

    .05.1141111-=+=

    ++++d d d d d 试探法求得

    (3)

    1)开环零、极点:p 1=0,p 2,3=-1,n=3 2)实轴上根轨迹段:(0,-1),(-1,-∞) 3)根轨迹的渐近线:

    ?

    ?±=±=-+±=

    -=--=

    180,603

    )12(,3

    2

    3110)3( π

    π?σm n k a

    a

    夹角交点条渐近线

    4)分离点和会合点

    3

    1

    01

    2

    1-

    =?=++d d d 5)与虚轴交点:02r

    2

    3=+++K s s s

    4-5 系统的开环传递函数为)

    1()

    2()(++=

    s s s K s G r ,

    (1) 画出系统的根轨迹,标出分离点和会合点;

    (2) 当增益r K 为何值时,复数特征根的实部为-2?求出此根。 解: (1)

    1)开环零、极点:p 1=0,p 2=-1 z=-2,n=2,m=1 2)实轴上根轨迹段:(0,-1),(-2,-∞) 3)分离点和会合点

    414

    .3,586.02

    11112

    1

    -=-=?+=

    ++d d d d d

    可以证明该根轨迹是一个半径为1.414,原点在-2处的标准圆

    (2)系统特征方程为02)1(r

    r

    2

    =+++K s K s

    2j 2322

    122

    ,1r

    r

    ±-==-=+-=-

    s K K

    a b ,,得:由

    1

    23

    s

    s s s r

    2K

    -r

    21

    1K r

    K

    j

    ,20

    2r

    r

    ±==?=-s K K

    4-6 单位回馈系统的前向信道函数为)

    3)(1()(++=

    s s s K s G r

    ,为使死循环主导极点具

    有阻尼比5.0=ξ,试确定r K 的值。 解:

    系统的根轨迹如图: d=-0.45 在根轨迹图上作射线: β=±60o 与根轨迹相交点为s 1和s 2

    设相应两个复数死循环极点分别为:

    n n j s ωω866.05.01+-=

    n

    n

    j s ω

    ω866.05.02

    --=

    则死循环特征方程式可表示为

    0)()())()((2

    3

    3

    2

    2

    3

    3

    3

    2

    1

    =--+-+=---n

    n

    n

    n

    s s s s s s s s s s s s ωωωω

    034r

    2

    3

    =+++K s s s 系统特征方程为Θ

    比较系数,得: ??

    ?

    ??=-=-=-r

    23

    3

    23

    34

    K s s s n

    n

    n

    n

    ωωωω??

    ?

    ??=-==?828.125.375

    .0r

    3K s n ω

    4-7 控制系统的开环传递函数为)

    4)(2()(++=

    s s s K s G r

    (1) 绘出该回馈系统的根轨迹图;

    (2) 求系统具有阻尼振荡响应的r K 取值围;

    (3) 系统稳定的r K 最大为多少?并求等幅震荡的频率;

    (4) 求使主导极点具有阻尼比5.0=ξ时的r K 值,并求对应该值时, 零极点形式的死循环传递函数。 解:(1)

    1)开环零、极点:p 1=0,p 2=-2,p 3=-4,n=3 2)实轴上根轨迹段:(0,-2),(-4,-∞) 3)根轨迹的渐近线:

    ?

    ?±=±=-=

    180,603

    ?m n a

    夹角4)分离点和会合点

    )

    (732.4,845.004

    12112

    1

    舍-=-=?=++++d d d d d

    分离点对应的08.3155.3155.1845.0r

    =??=K

    5)与虚轴交点:086r

    2

    3=+++K s s s

    (2)系统具有阻尼振荡响应的r K 取值围是:4808.3r

    <

    (3)系统稳定的48r

    ,等幅振荡频率为22=ω

    (4)同上题方法可求得: 阻尼比5.0=ξ

    时j1.1567.0,67.4,3.82

    ,13

    ±-=-==s s K r

    )

    15.1j 67.0)(15.1j 67.0)(67.4(3

    .8)(-++++=

    Φs s s s

    4-8单位负反馈系统的开环传递函数为)

    15.0)(1()(++=

    s s s K s G r

    ,用根轨迹分析系统

    的稳定性。

    解:1)开环零、极点:p 1=0,p 2=-1,p 3=-2,n=3 2)实轴上根轨迹段:(0,-1),(-2,-∞) 3)根轨迹的渐近线:

    1

    2

    3

    s s

    s s r

    84K

    -r

    68 1K

    r

    K

    2

    j2,480

    84r

    r

    ±==?=-s K K

    ?

    ?±=±=-=

    180,603

    ?m n a

    夹角4)分离点和会合点

    )

    (644.1,356.002

    11112

    1

    舍-=-=?=++++d d d d d

    5)与虚轴交点:0223r

    2

    3=+++K s s s

    所以,系统稳定的r

    K 取值围是:30

    r

    <

    4-9 单位负反馈系统的开环传递函数为)

    02.01)(01.01()(s s s K s G r

    ++=

    (1) 画出系统的根轨迹图;

    (2) 确定系统临界稳定时的开环增益; (3) 确定与临界阻尼比相应的开环增益。 解:(1)

    )

    50)(100(5000)(++=

    s s s K

    s G r

    ① 实轴上的根轨迹:[0, -50],[-100,-∞]

    1

    2

    3s s

    s s r

    26K

    -r

    2 32 1K

    r

    2K

    j

    ,30

    262

    ,1r

    r

    ±==?=-s K K

    ② 分离点:

    0100

    d 150d 1d 1=++++ 求解得87.78d 13.21d 21-=-=,

    ③ 渐近线:o o

    a a 1806050,

    ,±=?-=σ 根轨迹如图所示。 (2) 系统临界稳定时

    150750000*

    ==r

    K K ,

    (3) 系统临界阻尼比时

    62.95.48112*

    ==r

    K K ,

    4-10 系统的开环传递函数为3

    2)

    2()(2+++=

    s s s K s G r ,试绘制系统在∞<

    轨迹,并确定系统临界阻尼时的r K 值。

    解:

    1)开环零、极点:2,2j 12

    ,1-=±-=z p

    ,n=2,m=1

    2)实轴上根轨迹段:(-2,-∞) 3)分离点和会合点

    1

    )( ,22)(2)( ,32)(2

    ='+='+=++=s B s s A s s B s s s A )()()()(s A s B s B s A '='

    )22)(2(322

    ++=++s s s s