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    大学物理 第十章 课后答案

    习题十

    10-1 一半径r =10cm 的圆形回路放在B =0.8T 的均匀磁场中.回路平面与B

    垂直.当回路

    半径以恒定速率t r

    d d =80cm ·s -1

    收缩时,求回路中感应电动势的大小.

    解: 回路磁通 2

    πr B BS m ==Φ

    感应电动势大小

    40.0d d π2)π(d d d d 2====

    t r r B r B t t m Φε V

    10-2 一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路,半径R =5cm ,如题10-2图所示.均匀

    磁场B =80×10-3

    T ,B 的方向与两半圆的公共直径(在Oz 轴上)垂直,且与两个半圆构成相

    等的角α当磁场在5ms 内均匀降为零时,求回路中的感应电动势的大小及方向.

    解: 取半圆形cba 法向为i

    , 题10-2图

    αΦcos 2π21

    B R m

    =

    同理,半圆形adc 法向为j

    ,则

    αΦcos 2π22

    B R m

    =

    ∵ B 与i 夹角和B 与j

    夹角相等,

    ∴ ?

    =45α

    则 αΦcos π2

    R B m

    = 2

    21089.8d d cos πd d -?-=-=Φ-

    =t

    B R t m αεV 方向与cbadc 相反,即顺时针方向.

    题10-3图

    *10-3 如题10-3图所示,一根导线弯成抛物线形状y =2ax ,放在均匀磁场中.B 与xOy 平

    面垂直,细杆CD 平行于x 轴并以加速度a 从抛物线的底部向开口处作平动.求CD 距O 点

    为y 处时回路中产生的感应电动势.

    解: 计算抛物线与CD 组成的面积内的磁通量

    ??=-==a

    y

    m y B x x y B S B 0

    2

    3

    2

    322d )(2d 2ααΦ

    ∴ v

    y B t y y B t m 2

    1

    212d d d d ααε-=-=Φ-=

    ∵ ay v 22

    = ∴ 2

    12y a v =

    αα

    εa

    By

    y a y

    B

    i 8222

    12

    1-=-

    = i ε实际方向沿ODC .

    题10-4图

    10-4 如题10-4图所示,载有电流I 的长直导线附近,放一导体半圆环MeN 与长直导线共面,且端点MN 的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b ,环心O 与导线相距a .设半圆环以速度v 平行导线平移.求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压

    N M U U -.

    解: 作辅助线MN ,则在MeNM 回路中,沿v

    方向运动时

    0d =m Φ

    ∴ 0=MeNM ε 即 MN MeN

    εε=

    又∵ ?+-<+-=

    =b

    a b

    a MN

    b a b

    a Iv l vB 0ln 2d

    cos 0πμπε

    所以

    MeN ε沿NeM 方向,

    大小为

    b a b

    a Iv -+ln 20πμ M 点电势高于N 点电势,即

    b a b

    a Iv U U N M -+=-ln

    20πμ

    题10-5图

    10-5如题10-5所示,在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈.两导线中的电

    流方向相反、大小相等,且电流以t I

    d d 的变化率增大,求:

    (1)任一时刻线圈内所通过的磁通量; (2)线圈中的感应电动势. 解: 以向外磁通为正则

    (1)

    ]

    ln [ln

    π2d π2d π2000d a

    d b a b Il

    r l r I

    r l r I

    a

    b b a

    d d m +-+=

    -=?

    ?

    ++μμμΦ (2)

    t I b a b d a d l t d d ]

    ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε 10-6 如题10-6图所示,用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆.令这半圆形导线在磁场

    中以频率f 绕图中半圆的直径旋转.整个电路的电阻为R .求:感应电流的最大值.

    大学物理 第十章 课后答案

    题10-6图

    解: )

    cos(2π02

    ?ωΦ+=?=t r B S B m ∴ Bf

    r f r B r B t r B t m m i 222

    202ππ22π2π)

    sin(2πd d ===+=-=ωε?ωωΦε ∴ R Bf r R I m 22π=

    10-7 如题10-7图所示,长直导线通以电流I =5A ,在其右方放一长方形线圈,两者共面.线圈长b =0.06m ,宽a =0.04m ,线圈以速度v =0.03m ·s -1

    垂直于直线平移远离.求:d =0.05m

    时线圈中感应电动势的大小和方向.

    大学物理 第十章 课后答案

    题10-7图

    解: AB 、CD 运动速度v

    方向与磁力线平行,不产生感应电动势.

    DA 产生电动势

    ?==??=A D I

    vb vBb l B v d 2d )(0

    1πμε

    BC 产生电动势

    )(π2d )(02d a I

    vb

    l B v C

    B

    +-=??=?

    με

    ∴回路中总感应电动势

    8

    021106.1)11

    2-?=+-=

    +=a d d Ibv μεεε

    V 方向沿顺时针.

    10-8 长度为l 的金属杆ab 以速率v 在导电轨道abcd 上平行移动.已知导轨处于均匀磁场B

    中,B 的方向与回路的法线成60°角(如题10-8图所示),B

    的大小为B =kt (k 为正常).设t =0时杆位于cd 处,求:任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向.

    解: ?==?=?=2

    221

    2160cos d klvt lv kt Blvt S B m Φ

    klvt t m

    -=-

    =d d Φε

    即沿abcd 方向顺时针方向.

    题10-8图

    10-9 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区,B

    的方向如题10-9图所示.取逆时针方向为电流正方向,画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t =0).

    解: 如图逆时针为矩形导线框正向,则进入时0

    d d <Φ

    t ,0>ε;

    题10-9图(a)题10-9图(b)

    在磁场中时0d d =t Φ

    ,0=ε; 出场时0d d >t Φ

    ,0<ε,故t I -曲线如题10-9图(b)所示.

    题10-10图

    10-10 导线ab 长为l ,绕过O 点的垂直轴以匀角速ω转动,aO =3l

    磁感应强度B 平行于转

    轴,如图10-10所示.试求: (1)ab 两端的电势差; (2)b a ,两端哪一点电势高? 解: (1)在Ob 上取dr r r +→一小段 则

    ?==320

    2

    92d l Ob l B r rB ωωε

    同理 ?=

    =30

    2181

    d l Oa l B r rB ωωε ∴ 2

    261

    )92181(l B l B Ob

    aO ab ωωεεε=+-=+=

    (2)∵

    0>ab ε 即0<-b a U U

    ∴b 点电势高.

    题10-11图

    10-11 如题10-11图所示,长度为b 2的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间,并

    以速度v 平行于两直导线运动.两直导线通以大小相等、方向相反的电流I ,两导线相距

    2a .试求:金属杆两端的电势差及其方向. 解:在金属杆上取r d 距左边直导线为r ,则

    b a b a Iv r r a r Iv l B v b

    a b a B

    A A

    B -+-=-+-

    =??=??+-ln

    d )21

    1(2d )(00πμπμε

    ∵ 0

    ∴实际上感应电动势方向从A B →,即从图中从右向左, ∴

    b a b

    a Iv U AB -+=

    ln 0πμ

    题10-12图

    10-12 磁感应强度为B

    的均匀磁场充满一半径为R 的圆柱形空间,一金属杆放在题10-12图中

    位置,杆长为2R ,其中一半位于磁场内、另一半在磁场外.当t B

    d d >0时,求:杆两端的感应

    电动势的大小和方向.

    解: ∵

    bc ab ac εεε+=

    t B

    R B R t t ab d d 43]43[d d d d 21=--=-

    =Φε =-=t ab d d 2Φεt B

    R B R t d d 12π]12π[d d 22=

    --

    t B

    R R ac d d ]

    12π43[22+=ε ∵ 0d d >t B

    0>ac ε即ε从c a →

    10-13 半径为R 的直螺线管中,有dt dB

    >0的磁场,一任意闭合导线abca ,一部分在螺线管内绷直成ab 弦,a ,b 两点与螺线管绝缘,如题10-13图所示.设ab =R ,试求:闭合

    导线中的感应电动势.

    解:如图,闭合导线abca 内磁通量

    )

    436π(2

    2R R B S B m -=?= Φ

    t B R R i d d )

    436π(22--=ε ∵ 0

    d d >t B

    0

    题10-13图题10-14图

    10-14 如题10-14图所示,在垂直于直螺线管管轴的平面上放置导体ab 于直径位置,另一导体cd 在一弦上,导体均与螺线管绝缘.当螺线管接通电源的一瞬间管内磁场如题10-14图示方向.试求: (1)ab 两端的电势差; (2)cd 两点电势高低的情况.

    解: 由???-=?l S t B l E

    d d d d 旋知,此时旋E 以O 为中心沿逆时针方向.

    (1)∵ab 是直径,在ab 上处处旋E 与ab 垂直

    ∴ ?=?l

    l 0

    d 旋

    0=ab ε,有b a U U =

    (2)同理, 0

    d >?=?

    l E c

    d

    dc

    ε

    0<-c d U U 即d c U U >

    题10-15图

    10-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝缘).求:线圈与导线间的互感系数.

    解: 设长直电流为I ,其磁场通过正方形线圈的互感磁通为

    ?

    =

    =323

    00122

    ln π2d π2a a Ia

    r r

    Ia

    μμΦ

    2

    ln π2012

    a

    I M μΦ=

    =

    10-16 一矩形线圈长为a =20cm ,宽为b =10cm ,由100匝表面绝缘的导线绕成,放在一无限

    长导线的旁边且与线圈共面.求:题10-16图中(a)和(b)两种情况下,线圈与长直导线间的互感.

    解:(a)见题10-16图(a),设长直电流为I ,它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为

    2ln π2d 2πd 020)(12Ia

    r r Ia S B b b S μμΦ??==?=

    ∴ 6

    012

    108.22ln π2-?===a N I N M μΦ H

    (b)∵长直电流磁场通过矩形线圈的磁通012=Φ,见题10-16图(b) ∴ 0=M

    题10-16图题10-17图

    10-17 两根平行长直导线,横截面的半径都是a ,中心相距为d ,两导线属于同一回路.设两

    导线内部的磁通可忽略不计,证明:这样一对导线长度为l 的一段自感为

    πμl L 0=

    In a a

    d -.

    解: 如图10-17图所示,取r l S d d = 则

    ??

    -----=--=

    -+

    =a

    d a

    a

    d a

    a d d

    a a d Il r r r Il

    r l r I

    r π

    I

    )ln (ln 2πd )d 11(π

    2d ))

    d (π22(

    0000μμμμΦ

    a a

    d Il

    -=ln

    π

    a a d l

    I L -=

    =

    ln

    π0μΦ

    10-18 两线圈顺串联后总自感为1.0H ,在它们的形状和位置都不变的情况下,反串联后总自感为0.4H .试求:它们之间的互感.

    解: ∵顺串时 M L L L 221++=

    反串联时M L L L 221-+='

    ∴ M L L 4='-

    15.04='

    -=

    L L M H

    10-19图

    10-19 一矩形截面的螺绕环如题10-19图所示,共有N 匝.试求: (1)此螺线环的自感系数;

    (2)若导线内通有电流I ,环内磁能为多少? 解:如题10-19图示 (1)通过横截面的磁通为

    ?

    =

    =b

    a

    a b NIh

    r h r NI

    ln

    π

    2d π

    200μμΦ

    磁链

    a b Ih

    N N ln

    π

    220μΦψ=

    = ∴

    a b h

    N I

    L ln

    π220μψ

    =

    =

    (2)∵ 2

    21LI W m = ∴

    a b h I N W m ln

    π4220μ= 10-20 一无限长圆柱形直导线,其截面各处的电流密度相等,总电流为I .求:导线内部

    单位长度上所储存的磁能. 解:在R r <时

    20π2R I B r

    μ=

    4

    222002

    π82R r I B w m μμ== 取 r r V d π2d =(∵导线长1=l )

    则 ??

    =

    ==R R

    m I R r

    r I r r w W 0

    2

    04

    320π16π4d d 2μμπ