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    2016和2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛及答案(word) (1)

    2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

    一、填空题(每小题7分,共70分))

    1.关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<

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    2.从1, 2,

    3.

    4.

    5.

    6.

    7.

    8. 9中任取两个不同的数,则取出的两数之和为偶数的概率。4/9

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    3.已知()x f 是周期为4的奇函数且当()2,0∈x 时()60162+-=x x x f ,则()

    102f 的值是。-36

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    4.己知直线l 是函数()2ln 2x x x f +=图象的切线,当的斜率最小时l 的方程是。034=--y x

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    5.在平面直角坐标系XOY 中,如果直线l 将圆0422

    2=--+y x y x 平分,且不经过第四象限,

    那么l 的斜率的取位范围是。[]2,0

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    6.己知等边△ABC 的边长为2,若()

    21

    ,31+=+=

    ,则△APQ 面积是。3

    3

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    7.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点P 在棱BC 上,点Q 为棱CC1的中点.若过点

    A,P.Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形.则BP 的取值范围为。

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    ??

    ? ??1,21

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    8.己知数列{}n a 的奇数项依次构成公差为1d 的等差数列,偶数项依次构成公差为2d 的等差数列.且对任意,*∈N n 都有.1+

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    9.己知正实数y x ,满足

    ()()16222

    2=+++x

    y y

    x 则=+y x 。4

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    10.设M 表示满足下列条件的正整数n 的和:n 整除2

    2016,且2016整除2

    n .那么M 的所有不同正因子几的个数为。360

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    二、解答题(每小题20分,共80分))

    11.已知,2,0,1235

    cos 1sin 1???

    ? ??∈=+πθθθ求θtan 。3/4或

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    4/3

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    12.如图,点P 在△ABC 的边AB 上且 AB=4AP ,过点P 的直线MN 与△ABC 外接圆交于点M, N ,且点A 是弧M N 的中点.求证: (1)△ABN ≈△ANP 。 (2)证明:BM+BN=2MN.

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    13.在平面直角坐标系XOY 中.与双曲线C :122

    22=-b

    y a x 的右焦点为F ,过点F 的直线l 交曲

    线C 于B A ,两点.若,FB FA AB OF ?=?求双曲线C 的离心率e .21+

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    14.己知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值λ.若九个内角中有一个角等于1200,试求常数λ的值. 2

    3

    1-

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    2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解

    2017年5月7日8:00——10:00

    一、填空题(本题共10小题,每小题7分,共70分)

    1.已知向量()()

    1,3,3,1AP PB ==-,则向量AP 与

    AB 的夹角等于 .

    解一:由题设(0AP PB ?=?=,且||||A P P B =,故APB ?为等腰直角三角形,从而向量AP

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    与AB 的夹角等于

    4

    π.

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    解二:因为(11)AB AP PB =+=-,所以2cos ,AB AP <>=AP 与AB 的夹角等于

    4

    π. 2.已知集合()(){}

    |10A x ax a x =-->,且,3a A A ∈?,则实数a 的取值范围是 .

    解:有题设,知(21)(2)0

    (31)(3)0

    a a a a -->??

    --≤?

    所以:122133

    a a a ?>

    所以

    11

    32

    a ≤<或23a <≤

    3.已知复数2cos

    sin

    33

    z i ππ

    2=+,其中i 是虚数单位,则32z z += .

    解:有题设3

    2

    66441cos

    isin cos isin 33332z z ππππ+=+++=

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    4.在平面直角坐标系xOy 中,设12,F F 分别是双曲线()22

    2210,0x y a b a b

    -=>>的左,右焦点,P 是双曲线右支

    上一点,M 是2PF 的中点,且212,34OM PF PF PF ⊥=,则双曲线的离心率为

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    答案:5.

    5.定义区间[]12,x x 的长度为21x x -.若函数2log y x =的定义域为[],a b ,值域为[]0,2,则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 .

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    答案:3.

    6.若关于x 的二次方程()()221200mx m x m m +--+=>的两个互异的根都小于1,则实数m 的取值范围是 .

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    答案:.?

    +∞??

    ??

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    7.若tan 4x =

    ,则sin 4sin 2sin sin cos8cos4cos4cos2cos2cos cos x x x x

    x x x x x x x

    +++= .

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    8.棱长为2的正方体ABCD -1111A B C D 在空间坐标系O -xyz 中运动,其中顶点A 保持在z 轴上,顶点1B 保持

    在平面xOy 上,则OC 长度的最小值是 .

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    9.设数列12321,,,

    ,a a a a 满足:()111,2,3,

    ,20n n a a n +-==,1721,,a a a 成等比数列.若1211,9a a ==,则满足

    条件的不同的数列的个数为 .

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    答案:15099.

    10.对于某些正整数n ,分数

    22

    37

    n n ++不是既约分数,则n 的最小值是 .

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    答案:17. 二、解答题:(本大题共4小题,每小题20分,共80分) 11.设数列{}n a 满足:①11a =,②0n a >,③2

    *11,.1

    n n n na a n N na ++=

    ∈+ 求证:(1)数列{}n a 是递增数列;

    (2)对如图任意正整数n ,111.n

    n k a k

    =<+∑

    证明:(1)因为211

    1111,11

    n n n n n n n na a a a a na na ++++++-=-

    =++且0n a >, 所以10n n a a +->.所以*1,.n n a a n N +>∈ 所以数列{}n a 是递增数列. (2)因为111111

    ,1n n n n n n a a a a na na n

    +++++-=<=+

    所以当2n ≥时,

    ()()()112211

    11111112

    21

    1

    1.

    n n n n n n

    k a a a a a a a a n n k ---==-+-++-+<

    +++++--<+∑

    又1111,a =<+所以对任意正整数n ,11

    1.n

    n k

    a k

    =<+∑

    12.在平面直角坐标系xOy

    中,设椭圆()22

    22:10x y E a b a b

    +=>>,直线:30.l x y a +-=若椭圆E 的离心率为

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    ,原点O 到直线l 的距离为 (1)求椭圆E 与直线l 的方程;

    (2)若椭圆E 上三点()(),0,,,0P A b B a 到直线l 的距离分别为123,,d d d , 求证:123,,d d d 可以是某三角形三条边的边长.

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    解:(1

    )由题设条件得222,c

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    a b c a =??=??

    ?+=???

    ,从而2,1.a b =??=?

    故所求的椭圆2

    2:14

    x E y +=.直线:60.l x y +-=

    (2)设()2cos ,sin P θθ

    ,则

    16d θ?-+==

    其中tan 2.?=

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    1d ≤≤

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    又23d d =

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    == 故21.d d >

    因为231,d d d +=+>≥

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    131.d d d ++=>= 所以123,,d d d 可以是某个三角形的三条边的边长.

    13.如图,圆O 是四边形ABCD 的内切圆,切点分别为,,,,P Q R S OA 与PS 交于点1,A OB 与PQ 交于点1B ,OC 与QR 交于点1C ,OD 与SR 交于点1D . 求证:四边形1111A B C D 是平行四边形.

    O

    D 1

    C 1

    B 1

    A 1

    S

    R

    Q

    P

    D

    C

    B

    A

    证明:连接,.PR QS

    O

    D 1

    C 1

    B 1

    A 1

    S

    R

    Q

    P

    D

    C

    B

    A

    因为圆O 是四边形ABCD 的内切圆,所以OA 是SAP ∠的平分线,且.AP AS = 在△ASP 中,由三线合一,点1A 是线段PS 的中点. 同理点1B 是线段PQ 的中点,所以11//A B SQ . 同理1111//A D B C .

    所以四边形1111A B C D 是平行四边形. 14.求满足373x x y y -=-的所有素数x 和.y 解:满足题设条件的素数只有5, 2.x y == 假设5,y ≥则

    ()7363653

    6543654326

    5206706152015611.

    y y y y y y y y y y y y y y y y y y -≥-≥+-≥++->++++++=+ 所以,()633731,x x x y y y >-=->+即()2

    1.x y >+

    又因为()()()

    37332|111x x x y y y y y y -=-=-++,且x 为素数, 而()2

    21111,y y y y y x -<<+<+<+<从而()()()

    32\|111,x y y y y -++ 这与73|x y y -矛盾.