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    2008年浙江专升本《高数二》试卷及答案

    2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷

    一. 选择题(每个小题给出的选项中,只有一项符合要求:本题共有5个小题,每小题4分,共20分)

    1.当0→x 时,1sec -x 是2

    2

    x 的( ).

    .A 高阶无穷小 .B 低阶无穷小 .C 同阶但不是等阶无穷小 D .等阶无穷小

    2.下列四个命题中成立的是( ).

    .A 可积函数必是连续函数 .B 单调函数必是连续函数 .C 可导函数必是连续函数 D .连续函数必是可导函数 3.设()x f 为连续函数,则

    ()?dx x f dx

    d

    等于( ). .A ()C x f + .B ()x f

    .

    C ()dx x df

    D .

    ()C dx

    x df + 4.函数()x x x f sin 3=是( ).

    .A 偶函数 .B 奇函数

    .C 周期函数 D .有界函数

    5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内,曲线()x f y =上平行于x 轴的切线( ).

    ()A 不存在 ()B 仅有一条 ().C 不一定存在 ().D 至少有一条

    二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分) 1.设函数()???>+≤=0

    ,0

    ,x x a x e x f x 在0=x 处连续,则

    2008年浙江专升本《高数二》试卷及答案

    __________=a .

    2.()

    ()()

    .

    ___________________311sin lim

    2

    21

    =

    +--→x x x x

    3..___________________________1

    lim 2=++--∞→x

    x x x x

    4.设函数()x f 在点1=x 处可导,且

    ()11

    ==x dx x df , 则()()._______121lim

    =

    -+→x

    f x f x

    5.设函数()x x f ln 2=,则().____________________=

    dx

    x df

    6.设x

    e 为()x

    f 的一个原函数,则().___________________=x f

    7.()._________________________2

    =?x dt t f dx

    d 8. .

    _________________________0

    =

    ?

    ∞+-dx e x

    9. ()

    .

    ________________________2

    =

    +?-π

    π

    dx x x

    10.幂级数()∑

    =-0

    2

    2n n

    n

    x 的收敛半径为.________________

    三.计算题:(每小题6分,共60分) 1.求极限()()()()()x b x a x b x a x ---+++∞

    →lim .

    2008年浙江专升本《高数二》试卷及答案

    2.求极限()

    n

    n

    n

    n n n 7

    5732lim

    +-++∞→.

    3.设()

    b ax e y +=sin ,求dy . 4.设函数x

    xe y =,求

    2

    2=x dx y

    d .

    5.设y 是由方程()11sin =--x y xy 所确定的函数,求(1).0=x y ; (2).

    =x dx dy

    .

    6.计算不定积分?

    +dx x x 132

    .

    7.设函数()???≤<≤≤=2

    1,21

    0,2x x x x x f ,求定积分()?20

    dx x f .

    -----------------------------------------------------------------------

    8.计算()

    x

    dt

    e e

    x t t

    x cos 12lim

    --+?-→. 9.求微分方程02

    2=+dx dy

    dx

    y d 的通解.

    10.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.

    四.综合题:(每小题10分,共30分)

    1. 设平面图形由曲线x

    e y =及直线0,==x e y 所围成,

    2008年浙江专升本《高数二》试卷及答案

    (1)求此平面图形的面积;

    (2)求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积.

    2.求过曲线x xe y -=上极大值点和拐点的中点并垂直于0=x 的直线方程。(注:由使函数取极大值的点0x 和函数的极大值()0x f 所构成的一对数组()()00,x f x 称为曲线()x f y =上的极大值点).

    3.设函数()x f y =在点0x 处可导,证明它在点0x 处一定连续,并举例説明其逆不真.

    高等数学(二)答案

    一.选择题(每小题4分,共20分)

    2008年浙江专升本《高数二》试卷及答案

    二. 填空题:(每小题4分,共40分) (1). 1, (2).

    41, (3). 2, (4). 2, (5). x

    1,

    (6). x

    e , (7). ()x

    f -, (8).1, (9).

    3

    3

    2π, (10). 1。 三.计算题:(每小题6分,共60分) 1.解.

    ()()()()(

    )()()()()()()()()

    x b x a x b x a x b x a x b x a x b x a x b x a x x --+++---++=---+++∞

    →+∞

    →(lim

    lim

    (3)

    ()

    b a x b x a x b x a b a x +=??

    ? ??-??? ??-+??? ??+??? ??++=+∞

    →11112lim

    . ……….6分

    2.解.()17517372lim 75732lim +??

    ? ??-+???

    ??+??? ??=+-++∞

    →∞→n n

    n

    n n n n

    n n n . ……..3分 =1. ……6分

    3.解法一.()

    dx e dy b ax '

    sin += ……..3分

    dx e b ax a b ax )sin()cos(++= ………6分

    解法二.()

    ()()b ax d e

    dy b ax +=+sin sin ………3分

    dx e b ax a b ax )sin()cos(++=. ………6分

    4.解.,2,22

    x x x x xe e dx

    y d xe e dx dy +=+= …….4分 所以

    20

    2

    2==x dx y

    d . ……….6分

    5.解.(1)

    ()11sin 0

    0=--

    ==x x x

    y xy ,故10-==x y , …..3分

    (2)()()01

    cos 2=--+??

    ? ??+x y dx dy xy dx dy x y , ……..4分

    于是()()01cos 0

    2

    0=--+

    ??

    ?

    ??+==x x x y dx dy xy dx dy x

    y ,即

    20

    ==x dx dy

    . ……..6分 6.解.()

    ??

    ++=

    +113

    1

    13332

    x d x dx x x

    ……3分 ()C x ++=233

    19

    2 . ……6分 7.解.

    ()()()?????+=+=2

    1

    10

    2

    21

    10

    20

    2xdx dx x dx x f dx x f dx x f ……….3分

    3

    10

    3313

    21

    21

    3=+=

    +=x

    x . ……….6分 8.解.x

    e e x

    dt e e x x x x t t x sin 2lim

    cos 1)2(lim

    00

    -+=--+-→-→?

    ………3分

    0cos lim

    0=-=-→x

    e e x

    x x . …….6分 9解.特征方程02

    =+k k ,特征值为1,021-==k k , 2分 故通解为 x

    e

    c c y -+=21,其中21,c c 为任意数. ………6分

    10.解. 因为()())11(114321ln 1

    432≤<-++-++-+-=++x n x x x x x x n n , ……3分 所以,()2

    21ln x x x =+())1

    1432(1

    432 ++-++-+-+n x x x x x n n =())11(114323

    6543

    ≤<-++-++-+-+x n x x x x x n n …….6分 四.综合题.(共30分,其中第1题12分,第2题12分,第3题6分) 1.解法一. (1).()?-=

    1

    dx e e S x

    ……….4分

    ()

    1110

    =+-=-=e e e ex x

    . ………..6分

    (2).()

    ?-=1

    22

    dx e e

    V x π

    ………..9分

    ()()

    12

    121212221

    022+=??????--=??? ??-=e e e e x e x π

    ππ ………..12分

    .解法二.(1)?

    -=1

    dx e e S x

    ……….3分

    110

    =-=x

    e e . ………..6分

    (2). ?

    -=1

    22

    dx e e V x ππ (9)

    ()

    12

    2

    2

    10

    22+=

    -

    =e

    e e x

    π

    π

    π. …………12分

    2.解

    ()x e dx

    dy

    x -=-1,得到驻点11=x , ………1分 令()022

    2=-=-x e dx

    y

    d x ,得到22=x , ……2分

    2008年浙江专升本《高数二》试卷及答案

    …….7分 由此求得曲线上极大值点),1(1-e A 及拐点)2,2(2-e B , .9分

    于是直线AB 的中点)2,23(21

    --+e e P , …….10分 故所求的直线方程为21

    2

    --+=e e y . ……..12分 3.证明.因()x f y =在点0x 处可导,所以 ()0'0lim

    x f x

    y

    x =??→?,

    从而()00lim lim lim

    lim 0'0

    000=?=???=???=?→?→?→?→?x f x x y x x y y x x x x , ……3分

    即()x f y =在点0x 处连续. …….4分 反例,如x y =在点0x 处连续,但不可导. ……..6分