文档库

最新最全的文档下载
  • 求职/职场
  • 总结/汇报
  • 工作bob网页登录网址
  • 教学研究
  • 资格考试
  • 外语考试
  • 高等教育
  • 高中教育
  • 初中教育
  • 小学教育
  • 幼儿教育
  • 表格/模板
  • 人文社科
  • 当前位置:文档库 > 数学分析中不等式的证明

    数学分析中不等式的证明

    学号:2008211405

    哈尔滨师范大学

    学士学位论文

    题目数学分析中证明不等式的若干方法

    学生刘卓

    指导教师卞春雨讲师

    年级2008级

    专业数学与应用数学

    系别数学系

    学院数学科学学院

    哈尔滨师范大学

    学士学位论文开题报告

    论文题目数学分析中证明不等式的若干方法学生姓名刘卓

    指导教师卞春雨讲师

    年级2008级

    专业数学与应用数学

    2011年11月

    说明

    本表需在指导教师和有关领导审查批准的情况下,要求学生认真填写。

    说明课题的来源(自拟题目或指导教师承担的科研任务)、课题研究的目的和意义、课题在国内外研究现状和发展趋势。

    若课题因故变动时,应向指导教师提出申请,提交题目变动论证报告。

    课题来源:

    由论文指导教师提供。

    课题研究的目的和意义:

    在数学分析中,不等式作为其中重要的部分,发挥着巨大的作用,也是各个年级数学知识的重要内容,同时在现实生活中也能解决一些难度较大的问题,方便且实用,所以对于不等式的理解要更为深刻透彻,本文从不等式的各种证明出发,深刻了解不等式的内容,也从具体的问题来说明其作用和意义,使我们更加理解不等式的应用。对于不等式的诸多证明方法在本文中只是体现了一部分,但充分体现了不等式在数学分析中的重要地位。

    国内外同类课题研究现状及发展趋势:

    不等式的证明在自然学科和社会人文学科以及在我们日常生活中的应用不断的深化和发展。对于今后不等式的研究主要包括以下各个方面,推广和改进现有的不等式,建立新的不等式,扩大不等式的应用范围,探索不等式的各种方法,研究不等式证明之间的关联,从而寻找到最简单的不等式证明方法。

    课题研究的主要内容和方法,研究过程中的主要问题和解决办法:研究内容:

    1.数学分析中不等式的证明;

    2.用不同方法证明不等式;

    3.不等式证明的方法应用和意义;

    主要问题:

    1.数学析中不等式的证明;

    2.证明不等式的具体方法和具体问题研究

    1.查阅相关文献,研究证明不等式方法;

    2.在证明不等式中的诸多方法中体现不等式的意义;

    课题研究起止时间和进度安排:

    1. 选定课题(2011.12—201

    2.1)

    2. 收集资料(201121—2012.2)

    3. 完成开题报告(2012.2—2012.3)

    4. 完成初稿(2012.3—2012.4)

    5.请指导教师指导完成论文(2012.4—2012.5)

    课题研究所需主要设备、仪器及药品:外出调研主要单位,访问学者姓名

    指导教师审查意见:

    指导教师(签字)

    年月教研室(研究室)评审意见:

    ____________教研室(研究室)主任(签字)

    年月院(系)审查意见:

    ____________院(系)主任(签字)

    年月

    学士学位论文

    题目数学分析中证明不等式的若干方法学生刘卓

    指导教师卞春雨讲师

    年级2008级

    专业数学与应用数学

    系别数学系

    学院数学科学学院

    哈尔滨师范大学

    2012年4月

    目录

    摘要 (1)

    关键词 (1)

    引言 (1)

    一、不等式的证明 (1)

    1.利用单调性的证明 (1)

    2.利用微分中值定理证明不等式 (2)

    3.利用泰勒公式 (3)

    4.利用凸(或凹)函数的定义来证明不等式 (4)

    5.用求极值方法证明不等式 (4)

    6.利用单调极限证明不等式 (5)

    7.利用被积函数的不等式证明不等式 (6)

    8.在不等式两端取变限积分证明新的不等式 (7)

    9.利用著名的不等式证明其他不等式 (7)

    二、不等式在数学教学中的意义 (8)

    总结 (10)

    英文摘要 (11)

    数学分析中证明不等式的若干方法

    刘卓

    摘要:本文主要应用数学分析中的单调性,微分中值定理,Taylor 公式,凸函数的定义,极值,极限以及积分等的相关知识来证明不等式,同时也通过应用一些著名的不等式证明不等式.通过以上方法的应用使我们对不等式证明的相关知识有更加深刻系统的理解,从而为数学中许多其他内容的学习提供了一个重要工具. 关键词:数学分析 不等式 单调性

    引言

    不等式是数学分析的基本内容之一,它是研究许多数学分支的重要工具.在数学领域中占有重要的地位,也是各个时期的数学教材的重要组成部分,在各种考试和竞赛中都有举足轻重的地位.不等式的证明变化大,技巧性强,方法也较多.通过不等式的证明,不仅可以检验基本的数学知识的掌握程度,而且也是衡量数学水平的一个重要标志.因此,掌握一些基本的证明不等式的方法是十分重要也是十分必要的.下面将对不等式的证明方法进行总结.

    一、不等式的证明

    1.利用单调性的证明

    利用函数的单调性证明不等式是一种较为重要的方法,同时又是一种行之有效的方法。 要点:若0)(≥'x f (或0)(>'x f ,则当21x x <时,有)()(21x f x f ≤(或

    )()(21x f x f <).反之,若0)(≤'x f (或0)(<'x f ),则当21x x <时,有)

    ()(21x f x f ≥(或)()(21x f x f >).由此便可获得不等式.

    例1 证明: b

    b a

    a b a b

    a ++++++

    111

    证明 记x x x f +=

    1)(,则0)1(1)(2>+='x x f ,所以x

    x f +=11

    )(在定义域内单调递

    增函数.又由b a b a +≤+可知

    b

    b

    a a

    b a b b a a b a b a b

    a b a +++++++++++++≤+=≤111111

    例2 设e a b >>,证明:a

    b

    b a >

    分析 要证a

    b

    b a >,只需证b a a b ln ln >,也即证b

    b

    a a ln ln >. 证明 记x x x f ln )(=

    ,则2ln 1)(x x x f -=',所以当e

    x >时,0)(<'x f ,故x

    x

    x f ln )(=在e x >时是单调减函数.又由于e a b >>,所以

    b

    b

    a a ln ln >, 即a

    b

    b a >.

    2.利用微分中值定理证明不等式

    用微分中值定理来证明不等式要熟记各个中值定理的应用条件,将原不等式通过变形找到一个辅助函数使其满足中值定理条件,证明的关键是处理好ξ点,分析函数或其导数在该点的性质即可证明得到结论。

    要点:如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导,那么在()b a ,内至

    少存在一点ξ,使得))(()()(a x f a f x f -'+=ξ.由此可得当0)(=a f 在()b a ,内)(x f '0>时,有)(x f 0> ()b a x ,∈?

    有b a f a

    b a f b f <<'=--ξξ其中),()

    ()(.

    因此,若)(x f '单调递减,有)()

    ()()(b f a

    b a f b f a f '≤--≤'.以上原理在证明不等式时经常

    采用.

    例3 设π<<21,0x x ,平,q p ,是正整数,1=+q p ,证明:

    )sin(sin sin 2121qx px x q x p +≤+.

    证明 当21x x =时,不等式两边都等于1sin x ,因而等号成立.设21x x ≠,为确定起见,设21x x <,记213qx px x +=,由于1=+q p ,故11213)(x x x q x x >-+=.同理23x x <. 将原不等式改写为321sin )(sin sin x q p x q x p +≤+,即

    )sin (sin )sin (sin 1332x x p x x q -≤-.

    令x p x g x q x f sin )(,sin )(==,则

    x p x g x q x f cos )(,cos )(='='.

    根据积分中值定理,

    23123112(sin sin )cos ()cos ()q x x q x x q x px qx ξξ-=?-=?--=;cos )(112ξx x pq - 312312121(sin sin )cos ()cos ()p x x p x x p px qx x ξξ-=?-=?+-=212cos )(ξx x pq -

    其中πξξ≤≤≤≤≤≤213210x x x ,因而

    21cos cos ξξ<.

    所以原不等式得证.

    3.利用泰勒公式

    泰勒公式沟通了函数与高阶导数之问的关系,如果问题涉及到函数和高阶导数,就可以考虑用泰勒公式.用泰勒公式证明不等式时,常须将函数f 按某些特定点展成泰勒公式,通过分析余项在考点的性质,而得出不等式.

    依据)(x f 的情形,使其按照Taylor 公式展开,然后根据已知条件来进行证明不等式。 要点:若)(x f 在[]b a ,上有连续n 阶导数,则

    )),((0)(,0)()()1(时当)(b a x x f a f a f n n ∈>=='- ,则利用此原理,可以对一些不等式进

    行证明。

    例4 证明:

    )2

    ,0(,sin tan π

    ∈?>x x x x x 证明 原式等价于

    0tan sin )(2>-?≡x x x x f

    因为)],((0)(!

    )

    ()()(时当b a x a x n f x f n n ∈>-=

    ξ, 0)0()0(=''='f f ,

    0sec sin )1sec 5(sin )(432>+-='''x x b x x x f

    所以

    0tan sin )(2>-?≡x x x x f ))2

    ,0((时当π

    ∈x ,

    )2

    ,0(,sin tan π

    ∈?>x x x x x .

    4.利用凸(或凹)函数的定义来证明不等式

    利用函数的凸凹性来对不等式进行证明的方法首要是找到辅助函数)(x f ,利用辅助函数)(x f 在区间[]b a ,上的二阶导数来判定)(x f 的凸凹性,然后根据凸函数或凹函数的性质来进行这证明。

    要点:若0)(≥''x f ,则函数)(x f 为凸函数即[])1,0(,,,21∈?∈?λb a x x ,有

    )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+.

    若0)(≤''x f ,则函数)(x f 为凹函数即[])1,0(,,,21∈?∈?λb a x x ,有

    )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+.

    例5 证明:),0,0(,2

    ln )(ln ln y x y x y

    x y x y y x x ≠>>++>+ 证明 令01

    )(,1ln )(),0(ln )(>=''+='>=t

    t f t t f t t t t f ,所),在(∞+=0ln )(t t t f

    是严格凸函数. 于是

    )2

    ()]()([21y x f y f x f +>+, 即

    ()()1ln 222

    x y x y

    f x f y +++>????, 也即

    ln ln ()ln

    2

    x y

    x x y y x y ++>+, 故得证.

    类似的我们也可证明

    )(,2

    2y x e e e y

    x y

    x ≠>++. 5.用求极值方法证明不等式

    用求极值的方法来证明不等式最重要的也很就是构造相关函数,然后判断该函数的极值,这是证明不等式的一个最基本的方法。

    要点:要证明)()(x g x f ≥,只需求函数)()()(x g x f x F -=的极值,也就是证明

    0)(min ≥x F .

    例6 设n 为自然数,试证: )()1(2时当n t e n

    t n t e t

    n t

    ≤?≤----.

    证明 原始可转化为n

    t e n t t

    2)1(1≤?--.只需证明

    )(0])1(1[)(2n t e n

    t

    n t t f t n ≤≥?---=,

    ])1()1()1[(2)(1n n t n

    t

    n t e n t t f -+--+=

    -=])1(2[1---n t n t e n t

    故我们用ξ表示方程0)1(21=-?--n t

    n

    t e 的根.则极值的可疑点为n t t t ===及,,0ξ.

    但])1(1[)(,0)0(2

    ξ

    ξ

    ξξe n n f f n ?---=

    ==0)1()1()]1(21[22

    2

    2≥-+-=---n n

    n n n ξξ

    ξξ, .)(,01)(+∞=-∞≥-=f n n f 由此)(0)0()(m in )(时n t f t f t f ≤==≥.所以问题即得

    证.

    类似的我们也可证明:设12ln ->a 为任意常数,试证:)0(122

    时当><+-x e ax x x

    6.利用单调极限证明不等式

    利用单调极限来证明不等式主要的是求函数在某一点的极限值,然后根据单调函数的性质来进行判断。

    要点:若b x <时,)(x f 在定义域上是单调增函数(或严格单调增函数),且

    )()(,)(0b x A x f A x f b x <≤→-→当则时(或)()(b x A x f <<当).反之,对于递减或

    严格递减的函数,也有类似的的结论.利用该原理可以来证明一些不等式,从而使证明过程简洁易懂.

    例7 证明:x t x ≤>,0时,0)1(≥---x

    t

    x

    t e

    证明 当x t t ==或0时不等式显然成立.故只需证明0,,0≠<>t x t t 的情况.为此,我们只需证明当+∞→x 时,t

    x e n

    t x f -→-=)1()(即可. 事实上:

    (1)当x t t t <≠>,0,0时,

    x x x x t

    x x t x f ])1ln([])1[ln(])([ln '-='-='

    =t

    x t

    x t x -+--ln )ln((应用Lagrange 公式)

    =

    t x t t t -+--ξ ( .

    00.00t x x t x t x x t -<<<<<<-<<<ξξ时,当时,当)0=-+--≥t x t

    t x t (2) t

    t t x

    x x x e x

    t x t ---+∞→+∞→=-=-])1[(lim )1(lim .

    (3) 所以当+∞→x 时,t

    x e n

    t

    x f -→-=)1()(.故原不等式即得证.

    7.利用被积函数的不等式证明不等式

    利用定积分定义来证明一些不等式是一种十分有效的手段,可以将原来较为复杂的证明转化为较为简洁易懂的证明。下面将利用积分的相关性质来证明不等式。

    要点:若))()()(()(x g x f x g x f >≥或,则有

    )),((),)()(()()(b a x dx x g dx x f dx x g dx x f b

    a

    b a

    b a

    b

    a

    ∈>≥????

    或.

    例8 证明:

    dx x

    x dx x

    x ?

    ?

    ->-1

    2

    1

    2

    1sin 1cos

    证明 令x t arcsin =,则

    dt

    t dx x x ??

    =-20

    1

    2)cos(sin 1cos π

    令x t arccos =,则

    dt t dx x

    x ??

    =-20

    1

    2

    )sin(cos 1sin π

    要证的不等式转化为

    dt t dt t ??

    >20

    20

    )sin(cos )cos(sin π

    π

    .

    所以我们只需证)sin(cos )cos(sin t t >.(当)2

    ,

    0(π

    ∈t 时)由已知)2,0(π

    上x

    x x cos ,sin <严格递减.所以有

    )cos(sin cos )sin(cos t t t <<.

    即证原不等式

    dx x

    x dx x

    x ?

    ?

    ->-1

    2

    1

    2

    1sin 1cos .

    8.在不等式两端取变限积分证明新的不等式

    利用在不等式两端取变限积分来证明不等式,此种方法要求较高,技巧性太强,难度较大。但对于一些不易证明的不等式应用此种方法则较为简便。

    要点:若))()()(()(x g x f x g x f >≥或,则

    )),((),)()(()()(b a x dx x g dx x f dx x g dx x f b

    a

    b a

    b a

    b

    a

    ∈>≥????

    或.

    例9 证明:0>x 时,120

    6sin 65

    33x x x x x x +-<<-. 证明 已知1cos ≤x )2,0(时等号才成立只有πn x x =>.在此式两端同时取[]x ,0上的积分,得

    x x x ).

    再次取[]x ,0上的积分,得

    2

    cos 12x x <- (0>x ).

    即可得到

    x x x sin 6

    3

    <- (0>x ).

    然后继续取[]x ,0上的积分,得

    120

    6sin 5

    3x x x x +-<.

    移项即可得所要证明的不等式

    120

    6sin 6533x x x x x x +-<<-.

    9.利用著名的不等式证明其他不等式

    利用著名的不等式证明其他不等式要求我们应熟悉掌握数学分析中的一些常用的不等式,掌握了这些不等式我们可以利用他们来直接对其他一些难度较大不等式进行证明。此种方法对学生要求较高,难度也较大,技巧性更强。

    要点:

    Cauchy 不等式 设i i b a ,为任意实数(n i ,,1 =)则∑∑∑===?≤n

    i i

    n i i

    n i i

    i b

    a b a 1

    2

    1

    2

    2

    1

    )(

    ,其

    中当且仅当i i b a ,成比例时等号才成立.

    Schwarz 不等式 若)在(b a x g x f ,)(),(上可积,则

    ????≤?b

    a

    b a

    b a

    dx x g dx x f dx x g x f )()())()((222.

    若)在(b a x g x f ,)(),(上连续,其中等号当且仅当存在常数βα,使得)()(x g x f βα=时成立(βα,不同时为零).

    Holder 不等式 设n n b b b a a a ,,,,,,2121 及是两个正整数序列,

    11

    1=+q

    p ,则当1>p 时,有∑∑∑===≥?n

    i i i q

    n i q i p

    n i p

    i b a b a 1

    11

    1

    1

    )()(当0>p 时,不等号反向.其中当且仅当q

    i

    p

    i b a 和成比例时取等号.

    平均不等式 对任意n 个实数i a 0≥),,2,1(n i =恒有

    n

    a a a a a a n

    n

    n +++≤

    2121。其中当且仅当n a a a === 21时等号成立.

    例10 已知0)(≥x f ,在],[b a 上连续,

    k dx x f b

    a

    ,1)(=?

    为任意实数,求证:

    1)sin )(()cos )((22≤+??kxdx x f kxdx x f b

    a

    b

    a

    .

    证明 所要证明的式子的左端第一项应用 Schwarz 不等式

    2

    2])cos )(()([)cos )((dx kx x f x f kx x f b

    a

    b a ??=?

    ?dx kx x f dx kx x f dx x f b a

    b

    a

    b

    a

    ????=??≤22

    cos )(cos )()(

    同理可得

    dx kx x f dx kx x f b

    a

    b a

    ??≤22sin )()sin )((

    两式相得

    1)sin )(()cos )((22

    ≤+??kxdx x f kxdx x f b

    a

    b

    a

    .

    即得证.

    二、不等式在数学教学中的意义

    恒等关系是义务教育数学学习中的一种基本的关系。在义务教育的学习过程中,有哪些恒等关系是重要的?是需要学生掌握的?决定这些恒等关系的基本数学思想是什么?这些数学思想是怎么发挥作用的?

    b) 在义务教育阶段也引入了事物之间的不等关系,同时也引出了一些重要的不等关系,

    例如,实数中的不等关系。我们还引出了一些不等关系的性质,例如,0>>b a ,0>>c b 就可以得出c a >。建议同学们梳理一下在义务教育阶段所学的不等关系,体会不等关系与恒等关系的区别。

    c) 在高中的必修5,我们设置了不等式的内容。它大体上由四部分内容组成。我们同学们梳理复习这四部分内容。

    第一部分是,一些基本不等式的性质,例如,b a >,0>c 得出bc ac >等。 第二部分是,在学会解一元一次不等式的基础上,引入了一元二次不等式。 第三部分是,介绍了我们一个经常使用的不等式,这个重要的不等式有许多不同的呈现形式,值得一提的是,它还有很多重要的几何形式。

    第四部分是,简单的线性规划问题。解决线性规划问题是按照以下基本步骤实现的: 1)确定目标函数

    2)确定目标函数的约束条件,即讨论这个目标函数的可行区域。利用不等式刻画目标函数的约束条件。

    3)观察目标函数在可行区域内的变化趋势。 4)确定使得目标函数达到最大或最小值的解。

    同学们应该思考的是,在讨论这些不等式的过程中什么思想发挥了作用。

    d) 在我们上面分析的这些内容的学习中,我们可以体会到由运算思想所体现的恒等变换的能力。这种能力在研究不等式中发挥了重要的作用。建议同学们在教师的帮助下更好的发挥这种能力。

    e) 由运算思想所体现的恒等变换的能力,是一种重要的逻辑推理的能力。在本专题中,提高这种能力是本专题的基本定位。建议教师思考在本专题中,如何体现这样一个基本定位。

    f) 我们知道基本不等式,ab b a 22

    2

    ≥+,它有着重要的几何背景。如图所示:

    数学分析中不等式的证明

    令a AF =b BF =,则2

    22b a AB +=,而BGC ABCD S S 三角形四边形4>

    所以ab b a 22

    2

    ≥+

    当BF AF =时,正方形EFGH 缩为一点,BGC ABCD S S 三角形四边形4=

    实际上每一个好的不等式都有重要的数学背景,特别是重要的几何背景。

    教师应思考这样的问题,如何引导学生体会和认识不等式的几何背景,以及这些几何背景在证明不等式的过程中发挥的几何意义?

    g) 本专题我们主要介绍以下内容 (1)不等式的基本性质和基本不等式;

    (2)绝对值不等式及其几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明和求解一些绝对值不等式;

    (3)认识柯西不等式的几种不同形式及其几何意义,用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况;

    (4)用向量递归方法讨论排序不等式;

    (5)了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题;

    (6)会用数学归纳法证明贝努利不等式;

    (7)会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值;

    (8)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

    教师应该思考,如何让学生构架起本专题的知识结构。

    教师还应该思考,如何帮助学生总结、概括高中阶段有关不等关系的内容,并能写出一个好的读书报告与学生进行交流,总结在不等关系学习中的重要的数学思想。

    h) 教师应了解学生学习不等式选讲的基础,并思考如何根据学生的起点设计本专题的教学方案。

    总结

    不等式是数学分析中的一个重点也是一个难点,也能为其他数学分支的学习提供一个重要工具。不等式的证明是数学领域的重要内容,也是学习中的一个难点。不等式作为一个系统,其内容较为复杂,其的证明方法也较多,以上只是简要介绍了不等式证明的几种常用方法,并用例题作一讲解,意在抛砖引玉。

    参考文献:

    [1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社.2006.

    [2]贺彰雄.不等式证明的几种常见方法.湖北教育学报,2007,10(1):10-20.

    [3]王晓峰,李静.证明不等式的若干方法.数理医药学杂志.2008.12(1):12-20.

    [4]张锦来.微分法在不等中的应用.新乡教育学报.2008.10(2):12-20.

    [5]郭要红,戴普庆.中学数学研究.安徽:安徽教育出版社.